Question

【題目】已知O為原點，A，B，C為平面內的三點．求證：

(1) 若A，B，C三點共線，則存在實數α，β，且α＋β＝1，

(2) 若存在實數α，β，且α＋β＝1，使得，則A，B，C三點共線．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析:（1）由三點共線可得向量共線：,再轉化為向量,整理可得關于，根據分解定理可得 ，即證得α＋β＝1（2）逆推（1），將條件，轉化為向量關系，根據向量共線得三點共線

試題解析：證明：(1) 由A，B，C三點共線，知與共線，所以存在λ∈R，使＝λ，即－＝λ(－)，得＝λ＋(1－λ)，令λ＝β，1－λ＝α，則α＋β＝1，＝α＋β.

(2) 由＝α＋β＝(1－β)＋β，得－＝β(－)，即＝β，β∈R，

∴與共線．

又有公共點A，故A，B，C三點共線．