【題目】以邊長為4的等比三角形
的頂點
以及
邊的中點
為左、右焦點的橢圓過
兩點.
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）過點
且
軸不垂直的直線
交橢圓于
兩點，求證直線
與
的交點在一條直線上.
【答案】（1）
（2）
【解析】試題分析：
（1）先建立直角坐標系，使橢圓方程為標準方程，則
（2）研究圓錐曲線的定值問題，一般方法為以算代證，即先求兩直線交點坐標，再確定交點所在定直線：由對稱性可知兩直線交點必在垂直于x軸的直線上，因此運算目標為求交點橫坐標為定值，設
的方程為
， 
，則
： 
， 
： 
，消去y得
，再利用直線方程與橢圓方程聯立方程組，結合韋達定理可得
， 
，代入化簡得
試題解析：（1） 由題意可知兩焦點為
與
，且
，因此橢圓的方程為
. （4分）
（2） ① 當
不與
軸重合時，
設
的方程為
，且
， 
聯立橢圓與直線
消去
可得
，即
， 
設
， 
則
： 
①
： 
②
②-①得
則
，即
.
②當
與
軸重合時，即
的方程為
，即
， 
.
即
： 
①
： 
②
聯立①和②消去
可得
.
綜上
與
的交點在直線
上.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓：
，點
.
（1）設
是橢圓
上任意的一點，
是點
關于坐標原點的對稱點，記
，求
的取值范圍；
（2）已知點
，
，
是橢圓
上在第一象限內的點，記
為經過原點與點
的直線，
為
截直線
所得的線段長，試將
表示成直線
的斜率
的函數.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知O為原點，A，B，C為平面內的三點．求證：
(1) 若A，B，C三點共線，則存在實數α，β，且α＋β＝1，
(2) 若存在實數α，β，且α＋β＝1，使得
，則A，B，C三點共線．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某商品每件成本5元，售價14元，每星期賣出75件．如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數
與商品單價的降低值
（單位：元，
）的平方成正比，已知商品單價降低1元時，一星期多賣出5件．
（1）將一星期的商品銷售利潤
表示成的函數；
（2）如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖1，在高為2的梯形
中， 
， 
， 
，過
、
分別作
， 
，垂足分別為
、
。已知
，將梯形
沿
、
同側折起，得空間幾何體
，如圖2。
（1）若
，證明： 
；
（2）若
，證明： 
；
（3）在（1），（2）的條件下，求三棱錐
的體積。
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