Question

【題目】某種產品的質量以其質量指標衡量，并依據質量指標值劃分等級如表：

質量指標值m	m＜185	185≤m＜205	M≥205
等級	三等品	二等品	一等品

從某企業生產的這種產品中抽取200件，檢測后得到如下的頻率分布直方圖：

（1）根據以上抽樣調查的數據，能否認為該企業生產這種產品符合“一、二等品至少要占到全部產品的92%的規定”？
（2）在樣本中，按產品等級用分層抽樣的方法抽取8件，再從這8件產品中隨機抽取4件，求抽取的4件產品中，一、二、三等品都有的概率；
（3）該企業為提高產品的質量，開展了“質量提升月”活動，活動后再抽樣檢測，產品質量指標值X近似滿足X～N（218，140），則“質量提升月”活動后的質量指標值的均值比活動前大約提升了多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：根據抽樣調查數據，一、二等品所占比例的估計值為

0.200+0.300+0.260+0.090+0.025=0.875，

由于該估計值小于0.92，故不能認為該企業生產的這種產品

符合“一、二等品至少要占到全部產品的92%的規定”；

（2）由頻率分布直方圖知，一、二、三等品的頻率分別為0.375、0.5和0.125，

故在樣本中，一等品3件，二等品4件，三等品1件；

再從這8件產品中隨機抽取4件，一、二、三等品都有的情形有2種，

①一等品2件，二等品1件，三等品1件；

②一等品1件，二等品2件，三等品1件，

故所求的概率為P= = ；

（3）“質量提升月”活動前，該企業這種產品的質量指標值的均值約為

170×0.025+180×0.1+190×0.2+200×0.3+210×0.26+220×0.09+230×0.025=200.4；

“質量提升月”活動后，產品質量指標值X近似滿足X～N（218，140），

則數學期望E（X）=218；

所以“質量提升月”活動后的質量指標值的均值比活動前大約提升了

218﹣200.4=17.6．

【解析】（1）根據抽樣調查數據，一、二等品所占比例的估計值為0.875，故不能認為該企業生產的這種產品符合“一、二等品至少要占到全部產品的92%的規定”（2）由頻率分布直方圖知，一、二、三等品的頻率分別為0.375、0.5和0.125，再由古典概型可得到所求概率，（3）根據數據得到企業這種產品的質量指標值的均值約為200.4；由于產品質量指標值X近似滿足X～N（218，140），則數學期望E（X）=218；所以提升了17.6．