Question

已知曲線C₁的參數方程為

x=-2+ 10 cosθ y= 10 csinθ

（θ為參數），曲線C₂的極坐標方程為ρ=2cosθ+6sinθ．
（1）將曲線C₁的參數方程化為普通方程，將曲線C₂的極坐標方程化為直角坐標方程；
（2）曲線C₁，C₂是否相交，若相交請求出公共弦的長，若不相交，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據同角三角函數關系消去參數θ，即可求出曲線C₁的普通方程，曲線C₂的極坐標方程兩邊同乘ρ，根據極坐標公式進行化簡就可求出直角坐標方程；
（2）先求出兩個圓心之間的距離與兩半徑和進行比較，設相交弦長為d，因為兩圓半徑相等，所以公共弦平分線段C₁C₂，建立等量關系，解之即可．

解答：解：（1）由

x=-2+ 10 cosθ y= 10 sinθ

得（x+2）²+y²=10
∴曲線C₁的普通方程為得（x+2）²+y²=10
∵ρ=2cosθ+6sinθ
∴ρ²=2ρcosθ+6ρsinθ
∵ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ
∴x²+y²=2x+6y，即（x-1）²+（y-3）²=10
∴曲線C₂的直角坐標方程為（x-1）²+（y-3）²=10
（2）∵圓C₁的圓心為（-2，0），圓C₂的圓心為（1，3）
∴|C1C2| =

(-2-1)2+(0-3)2

 =3

2

＜2

10

∴兩圓相交
設相交弦長為d，因為兩圓半徑相等，所以公共弦平分線段C₁C₂
∴(

d

2

)2+(

3 2

2

)2=10
∴d=

22

∴公共弦長為

22

點評：本題主要考查了圓的參數方程，以及簡單曲線的極坐標方程，屬于基礎題．