Question

【題目】已知函數f（x）=lg（ax2+ax+2）（a∈R）．
（1）若a=﹣1，求f（x）的單調區間；
（2）若函數f（x）的定義域為R，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當a=﹣1時，f（x）=lg（﹣x2﹣x+2），

由﹣x2﹣x+2＞0，即x2+x﹣2＜0，解得：﹣2＜x＜1，

所以函數f（x）的定義域為（﹣2，1）；

設t（x）=﹣x2﹣x+2，x∈（﹣2，1），

則y=lgt在t∈（0，+∞）為增函數．

由復合函數的單調性，

f（x）的單調區間與t（x）=﹣x2﹣x+2，x∈（﹣2，1）的單調區間一致．

二次函數t（x）=﹣x2﹣x+2，x∈（﹣2，1）的對稱軸為

所以t（x）在 單調遞增，在 單調遞減．

所以f（x）的單調增區間為 ，單調減區間為

（2）

解：當a=0時，f（x）=lg2為常數函數，定義域為R，滿足條件．

當a≠0時，f（x）的定義域為R等價于ax2+ax+2＞0恒成立．

于是有 ，解得：0＜a＜8

綜上所述，實數a的取值范圍是0≤a＜8

【解析】（1）將a=﹣1代入f（x），求出f（x）的定義域，結合二次函數的單調性，求出復合函數的單調區間即可；（2））f（x）的定義域為R等價于ax2+ax+2＞0恒成立，根據二次函數的性質求出a的范圍即可．
【考點精析】關于本題考查的二次函數的性質，需要了解當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減才能得出正確答案．