Question

【題目】對(duì)于曲線所在的平面上的定點(diǎn)，若存在以點(diǎn)為頂點(diǎn)的角，使得對(duì)于曲線上的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)恒成立，則稱角為曲線的“點(diǎn)視角”，并稱其中最小的“點(diǎn)視角”為曲線相對(duì)于點(diǎn)的”點(diǎn)確視角”.已知曲線和圓是軸上一點(diǎn)

（1）對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出曲線的“點(diǎn)確視角”的大小；

（2）若在曲線上，求的最小值；

（3）若曲線和圓的“點(diǎn)確視角”相等，求點(diǎn)坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據(jù)“點(diǎn)確視角”的定義,可知“點(diǎn)確視角”即為原點(diǎn)與兩條漸近線所成角的大小,結(jié)合漸近線方程即可求得該角大小.

（2）設(shè)出Q點(diǎn)坐標(biāo),代入雙曲線方程可得Q的橫縱坐標(biāo)的等量關(guān)系.根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式即可表示出,根據(jù)Q橫坐標(biāo)的取值范圍討論P點(diǎn)的位置,即可求得的最小值.

（3）根據(jù)雙曲線與圓的“點(diǎn)確視角”相等,可得與雙曲線相切的直線方程,聯(lián)立后通過判別式即可求得點(diǎn)坐標(biāo).

（1）由題意可知, “點(diǎn)確視角”即為原點(diǎn)與兩條漸近線所成角的大小,

因?yàn)榍�線,兩條漸近線方程為

兩條漸近線的傾斜角分別為與

所以兩條漸近線的夾角為

即“點(diǎn)確視角”為

（2）設(shè),代入曲線方程可得

,化簡即為

因?yàn)?/span>

則

因?yàn)?/span>在雙曲線右支上,所以

所以當(dāng)時(shí), 則

所以當(dāng)時(shí), 則

綜上可知,

（3）曲線和圓

根據(jù)題意將兩個(gè)曲線畫在坐標(biāo)系中,如下圖所示:

因?yàn)榍�線和圓的“點(diǎn)確視角”相等

由圖像可知它們共同的“點(diǎn)確視角”為鈍角

雙曲線的兩條漸近線方程為

所以當(dāng)時(shí),過P點(diǎn)與雙曲線相切時(shí), “點(diǎn)確視角”相等

則切線方程可表示為

聯(lián)立雙曲線,化簡得

根據(jù)相切時(shí)可得

解得或

因?yàn)?/span>

故