Question

【題目】在本題中，我們把具體如下性質的函數叫做區間上的閉函數：①的定義域和值域都是；②在上是增函數或者減函數.

（1）若在區間上是閉函數，求常數的值；

（2）找出所有形如的函數（都是常數），使其在區間上是閉函數.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）依據新定義，的定義域和值域都是，且在上單調，建立方程求解；（2）依據新定義，討論的單調性，列出方程求解即可。

（1）當時，由復合函數單調性知，在區間上是增函數，即有 ，解得 ；

同理，當時，有，解得，綜上，。

（2）若在上是閉函數，則在上是單調函數，

①當在上是單調增函數，則 ，解得，檢驗符合；

②當在上是單調減函數，則，解得，

在上不是單調函數，不符合題意。

故滿足在區間上是閉函數只有。