Question

【題目】已知定義域為的函數是奇函數.

（1）求的值；

（2）判斷函數在上的單調性，并證明你的結論.

（3）是否存在實數，對于任意，不等式恒成立，若存在，求出實數的取值范圍，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）為上的減函數；

（3）

【解析】

（1）因為為上的奇函數，所以，代入可求；

（2）由（1）可得，利用定義，任取，只要說明的符號即可判斷；

（3）由不等式恒成立，及是上的奇函數且是上的減函數，可得對恒成立．由題意可得，，結合二次函數的性質先求出的最大值，即可求的范圍．

（1）因為為上的奇函數，所以，

，

；

（2）為上的減函數．

任取，

，

，，，

，

，所以為上的減函數．

（3）若不等式恒成立，

，又為上的奇函數，

所以

又為上的減函數，所以對恒成立．

即對恒成立．

，，

設，其對稱軸為，

時是增函數，

所以，

所以．