Question

【題目】已知函數和，

（Ⅰ）設，求函數的單調區間；

（Ⅱ）當時，為函數圖象與函數圖象的公共點，且在點處有公共切線，求點的坐標及實數的值．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2),.

【解析】分析：（Ⅰ）對函數求導，得，然后分，，分三種情況討論單調區間。

（Ⅱ）設點，由公切線可知在處導數相等且函數值相等，得，所以設函數，由導數可求得.。

詳解：（Ⅰ）,

（1）當時，

在時，，函數在上單調遞增，

在時，，函數在單調遞減；

在時，，函數在上單調遞增

（2）當時，在時，，函數在上單調遞增

（3）當時，在時，，函數在上單調遞增，

在時，,函數在單調遞減；

在時，，函數在上單調遞增

綜上：

當時，函數的單調遞增區間是和；單調遞減區間是

當時，函數的單調增區間是，

當時，函數的單調遞增區間是和；單調遞減區間是

（Ⅱ）設點，在點處有公切線，設切線斜率為

因，

所以，即

由是函數與函數圖象的公共點，所以

，

化簡可得

將代入，得

設函數

因為，，函數在單調遞減，

因為，

所以在時只有一個零點

由

知方程在只有一個實數根

代入：，

所以，此時：.