Question

（本題滿分12分）已知直三棱柱ABC－A₁B₁C₁的側棱長與
底面三角形的各邊長都等于a，點D為BC的中點．
求證：（1）平面AC₁D⊥平面BCC₁B₁；
（2）A₁B∥平面AC₁D．（3）求二面角C₁－DA－C的大小.

Answer 1

(Ⅰ)略   (Ⅱ) 略 （Ⅲ）

證明：（1）在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，側棱BB₁⊥平面ABC．
又BB₁平面BCC₁B₁，∴側面BCC₁B₁⊥平面ABC．在正三角形ABC中，
D為BC的中點，∴AD⊥BC．
由面面垂直的性質定理，得AD⊥平面BCC₁B₁．又AD平面AC₁D，
∴平面AC₁D⊥平面BCC₁B₁．
（2）連A₁C交AC₁于點O，四邊形ACC₁A₁是平行四邊形，O是A₁C的中點．又D是BC的中點，連OD，由三角形中位線定理，得A₁B₁∥OD．∵OD平面AC₁D，A₁B平面AC₁D，∴A₁B∥平面AC₁D．……..8分
..12分