Question

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以原點為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求曲線的極坐標方程與曲線的直角坐標方程；

（2）設、為曲線上位于第一，二象限的兩個動點，且，射線，交曲線分別于點，.求面積的最小值，并求此時四邊形的面積.

Answer 1

【答案】（1）：，：.（2）面積的最小值：，四邊形的面積為：.

【解析】

（1）將曲線消去參數即可得到的普通方程，將，代入曲線的極坐標方程即可；

（2）由（1）得曲線的極坐標方程，設，，，利用方程可得，再利用基本不等式得，根據題意知，進而可得四邊形的面積.

（1）由曲線的參數方程為（為參數）

消去參數得

即曲線的極坐標方程為：，化簡為：

的極坐標方程為

可得，

根據極坐標與直角坐標的互化公式：

故：，

曲線的直角坐標方程：.

（2）設

：

，，

故

根據均值不等式可得：，

當且僅當（即）時取“=”.

，

此時

故所求四邊形的面積為.