【題目】已知函數
.
（Ⅰ）若
在定義域內單調遞增，求
的取值范圍；
（Ⅱ）若存在極大值點
，證明：
.
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）證明見解析
【解析】
（Ⅰ）求出導函數
，由
恒成立，分離參數后轉化為求新函數
（
）的最值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，利用單調性計算
的零點，得
的極大值點，再研究函數值證得結論．
解：（Ⅰ）
在定義域內單調遞增，
在
恒成立，即
在恒成立.
令，，則
，當
時，
；當
時，
；
在
上單調遞減，
上單調遞增
.
，
的取值范圍是.
（Ⅱ）
存在極大值點，
至少存在一個零點，由（Ⅰ）知，
.
即函數的圖像與直線
至少存在一個交點，
由（Ⅰ）知，
在
上單調遞減，上單調遞增，
，
取
，
，
在上存在一個零點
.
由（Ⅰ）知，當
時，在上單調遞增，
，即
，
，
取
，
，在上存在一個零點
，
即在
上單調遞增，在
上單調遞減，在
上單調遞增.
，且
，即
.
，即
.
靈星計算小達人系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】雙曲線C的漸近線方程為
，一個焦點為F（0，﹣8），則該雙曲線的標準方程為_____.已知點A（﹣6，0），若點P為C上一動點，且P點在x軸上方，當點P的位置變化時，△PAF的周長的最小值為_____.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知三棱臺
的下底面
是邊長為2的正三角形，上地面
是邊長為1的正三角形.
在下底面的射影為的重心，且
.
（1）證明：
平面
；
（2）求直線
與平面所成角的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，直線
的參數方程為
（
為參數），在以坐標原點
為極點、以
軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線
的極坐標方程為
，若直線與曲線交于
、
兩點.
（1）求線段
的中點
的直角坐標；
（2）設點
是曲線上任意一點，求
面積的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖是九江市2019年4月至2020年3月每月最低氣溫與最高氣溫（℃）的折線統計圖：已知每月最低氣溫與最高氣溫的線性相關系數r＝0.83，則下列結論錯誤的是（ ）
A.每月最低氣溫與最高氣溫有較強的線性相關性，且二者為線性正相關
B.月溫差（月最高氣溫﹣月最低氣溫）的最大值出現在10月
C.9﹣12月的月溫差相對于5﹣8月，波動性更大
D.每月最高氣溫與最低氣溫的平均值在前6個月逐月增加
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，直三棱柱
中，
，
，
.以
，
為鄰邊作平行四邊形
，連接
和
.
（1）求證：
平面
；
（2）線段上是否存在點
，使平面
與平面
垂直？若存在，求出
的長；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，在四邊形ABCD中，∠ABC=
，AB=4，BC=3，CD=
，AD=2，PA=4.
（1）證明：CD⊥平面PAD；
（2）求二面角B-PC-D的余弦值..
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數），以原點
為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）求曲線的極坐標方程與曲線的直角坐標方程；
（2）設
、
為曲線上位于第一，二象限的兩個動點，且
，射線
，
交曲線分別于點
，
.求
面積的最小值，并求此時四邊形
的面積.
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