Question

（本題滿分18分，第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題8分）
對于數列，如果存在一個正整數，使得對任意的（）都有成立，那么就把這樣一類數列稱作周期為的周期數列，的最小值稱作數列的最小正周期，以下簡稱周期。例如當時是周期為的周期數列，當時是周期為的周期數列。
（1）設數列滿足（），（不同時為0），且數列是周期為的周期數列，求常數的值；
（2）設數列的前項和為，且．
①若，試判斷數列是否為周期數列，并說明理由；
②若，試判斷數列是否為周期數列，并說明理由；
（3）設數列滿足（），，，，數列的前項和為，試問是否存在，使對任意的都有成立，若存在，求出的取值范圍；不存在，   說明理由；

Answer 1

解：（1）由數列是周期為的周期數列，
且，即， …………4分
（2）當時，，又得．……………………………5分
當時，，
即或．……………………………6分
①由有，則為等差數列，即，
由于對任意的都有，所以不是周期數列……………………………8分
②由有，數列為等比數列，即，
即對任意都成立，
即當時是周期為2的周期數列。…………………………10分
（3）假設存在，滿足題設。
于是又則
所以是周期為3的周期數列，所以的前3項分別為，……………………12分
則，              ………………14分
當時，
當時，
當時，
綜上，                            ……………16分
為使恒成立，只要，即可，
綜上，假設存在，滿足題設，，。………………18分

略