Question

【題目】已知函數f（x）=kx+log9（9x+1）（k∈R）是偶函數．
（1）求k的值；
（2）若函數g（x）=log9（a3x﹣ a）的圖象與f（x）的圖象有且只有一個公共點，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是偶函數，∴由f（﹣x）=f（x）得﹣kx+log9（9﹣x+1）=kx+log9（9x+1），

整理得

（2）解：由題意知，方程 只有一解，即 有且只有一個實根，

令t=3x，則t∈（0，+∞），

從而方程 有且只有一個正實根t，

當a﹣1=0時， （舍去），

當a﹣1≠0時，若判別式△=0，即 +4a﹣4=0，

即4a2+9a﹣9=0得a=﹣3或a= ，

當a= 時，t＜0，不滿足條件．舍去，

若△＞0，則t1t2＜0，得 ，則a＞1，

從而所求a的范圍是{﹣3}∪（1，+∞）

【解析】（1）根據函數奇偶性的性質建立方程進行求解．（2）根據函數g（x）和f（x）圖象的交點個數進行討論求解．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數奇偶性的性質的相關知識，掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．