Question

【題目】如圖，在三棱錐中，平面平面，，，若為的中點.

（1）證明：平面；

（2）求異面直線和所成角；

（3）設線段上有一點，當與平面所成角的正弦值為時，求的長.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)(3).

【解析】

（1）先證明平面平面，再證明平面；（2）分別以，，為軸，軸，軸的非負半軸，建立空間直角坐標系，利用向量法求異面直線和所成角；（3）設，，利用向量法得到，解方程即得t的值和的長.

（1）∵，，

∴，

∵平面平面，

平面平面，

平面，

∴平面.

（2）∵，，

∴，，

如圖，分別以，，為軸，軸，軸的非負半軸，建立空間直角坐標系,

∵，，，，

∴，，

∵，

∴異面直線和所成角為.

（3）設為平面的法向量，

∵，，

∴，即，

設，，

∴，

設與平面所成角為，

∵，

∴，

，

，

，

（舍），，

∴的長為.