Question

【題目】已知四棱錐的底面為直角梯形，，，是以為底邊的等腰直角三角形．

（1）求證：；

（2）若為的垂心，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）取的中點，連結，證明平面，即可得到答案；

（2）證明兩兩互相垂直，再以為原點，分別為軸，建立空間直角坐標系，求得兩個面的法向量，進而求得二面角的余弦值.

（1）取的中點，連結，

因為是以為底邊的等腰直角三角形，

所以，

因為，所以四邊形為正方形，

所以，又，

所以平面，

所以.

（2）連結并延長交于，由（1）得，

所以，因為，所以為的中點，

取的中點為，連結，則以兩兩互相垂直，

以為原點，分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，

所以，

設為面的一個法向量，則

取，所以，

設為面的一個法向量，則

取，所以，

所以，

因為二面角為鈍二面角，

所以二面角的余弦值為.