Question

【題目】已知點是長軸長為的橢圓： 上異于頂點的一個動點， 為坐標原點， 為橢圓的右頂點，點為線段的中點，且直線與的斜率之積恒為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設過左焦點且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于兩點，線段的垂直平分線與軸交于點，點橫坐標的取值范圍是，求的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;(Ⅱ) ．

【解析】試題分析：（1）利用斜率公式化簡條件：直線與的斜率之積恒為 ，變形成橢圓標準方程形式，即得結果，(2)將直線方程與橢圓方程聯立，結合韋達定理以及弦長公式可得關于直線斜率的函數關系式，再根據中點坐標公式列出線段的垂直平分線，并求與軸交點橫坐標，根據點橫坐標的取值范圍，確定直線斜率取值范圍，最后根據直線斜率取值范圍確定的最小值.

試題解析：（Ⅰ）∵橢圓的長軸長為，∴．

設，

∵直線與的斜率之積恒為，∴，

∴，∴，

故橢圓的方程為.

(Ⅱ) 設直線方程為，代入有，

設， 中點，

∴.

∴

∴的垂直平分線方程為，

令，得

∵，∴，∴．

，

．