Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為、，橢圓上的點滿足，且的面積為．

（1）求橢圓的方程；

（2）設橢圓的左、右頂點分別為、，過點的動直線與橢圓相交于、兩點，直線與直線的交點為，證明：點總在直線上．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）由已知，可求，，故方程為；（2）當直線不與軸垂直時，設直線的方程為、，由得，由共線，得，又，則，代入可得結論．

試題解析：（1）由題意知：，

∵橢圓上的點滿足，且，

∴，

∴．

∴

又∵，∴．

∴橢圓的方程為，

（2）由題意知，

①當直線與軸垂直時，，則的方程是：，

的方程是：，直線與直線的交點為，

∴點在直線上．

（2）當直線不與軸垂直時，設直線的方程為、，

由得，

∴．

，共線，∴．

又，需證明共線，

需證明，只需證明，

若，顯然成立，若，即證明

成立．

∴共線，即點總在直線上．