Question

【題目】橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，焦點到短軸端點的距離為2，離心率為.

（Ⅰ）求該橢圓的方程；

（Ⅱ）若直線與橢圓交于， 兩點且，是否存在以原點為圓心的定圓與直線相切？若存在求出定圓的方程；若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】（1）橢圓方程為；（2）存在，方程為.

【解析】試題分析：（1）根據橢圓幾何性質可知，橢圓焦點到短軸端點的距離為，即，又離心率，所以，則，所以橢圓方程為；（2）若直線斜率存在時，設直線： ，將直線方程與橢圓方程聯立，消去未知數，得到關于的一元二次方程，設， ，然后表示出韋達定理，由于，轉化為，即，坐標表示為，于是得到關于的等式，再求原點O到直線AB的距離，與前面的等式聯立化簡、整理可以得出，最后得到圓的方程.

試題解析：（Ⅰ）設橢圓的半焦距為，

∵橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，焦點到短軸端點的距離為2，離心率為，

∴由題意，且，解得， .

∴所求橢圓方程為.

（Ⅱ）設， ，若存在，則設直線： ，由，得

∴，且，由，知 ，代入得，原點到直線的距離，

當的斜率不存在時， ，得， ，依然成立

∴點到直線的距離為定值.

∴定圓方程為.