Question

【題目】定義在非零實數集上的函數滿足： ，且在區間上為遞增函數．

（1）求、的值；

（2）求證： 是偶函數；

（3）解不等式．

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）見解析；（3）.

【解析】試題分析：本題為抽象函數問題，解決抽象函數的基本方法有兩種：一是賦值法，二是“打回原型”，本題第一步采用賦值法，先給x,y賦值1，求出f(1)，再給x,y賦值-1，求出f(-1)；最后給y賦值-1，判斷函數奇偶性，就是尋求f(-x)與f(x)的關系，給y賦值-1，判斷出函數的奇偶性；再根據函數的奇偶性，得出函數圖像的對稱性，利用已知所提供的函數的單調性，借助f(-1)=f(1)=0,畫出函數的圖像，根據函數的奇偶性和單調性轉化不等式，解不等式.

試題解析：

⑴令 則 即

令 則 即

⑵令 則 即

為偶函數

⑶由題意可知的大致圖象為

原不等式等價于

即且

不等式的解集為

【點精】本題為抽象函數問題，解決抽象函數的基本方法有兩種：一是賦值法，二是“打回原型”，賦值法是最常用的解題方法，巧妙的賦值可求出函數的特值，也可以判斷抽象函數的奇偶性，也可以證明函數的單調性，借助函數的奇偶性和單調性以及特殊點特殊值可以模擬出函數的圖象，在此基礎上可以解不等式或解決其它函數問題.