Question

【題目】如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，，，且，E為PD中點.

（I）求證：平面ABCD；

（II）求二面角B-AE-C的正弦值.

Answer 1

【答案】（I）見解析（II）

【解析】

（I）根據題目所給條件，利用直線與平面垂直的判定方法分別證明出平面PAB以及平面，進而得到和，從而推得線面垂直。

（II）根據已知條件，以A為原點，AB為軸，AD為軸，AP為軸建立直角坐標系，分別求出平面ABE和平面AEC的法向量，最后利用向量法求出二面角B-AE-C的正弦值。

解：（I）證明：∵底面ABCD為正方形，

∴，又，，

∴平面PAB，∴．

同理，∴平面ABCD

（II）建立如圖的空間直角坐標系A-xyz，

則，，，，

易知

設為平面ABE的一個法向量，

又，，∴令，，得.

設為平面AEC的一個法向量，又

∴令，得

.

∴二面角B-AE-C的正弦值為.