Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）記，是的導函數，如果是函數的兩個零點，且滿足，證明：.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】分析：（1）取出函數的導數，結合二次函數的性質，通過討論的范圍，求出函數的單調區間，即可；

（2）求出，令，則，根據函數的單調性證明即可．

詳解：（1）的定義域為，

.

設，為二次函數，對稱軸，且恒過點，

（i）當時,，所以，在上單調遞減；

（ii）當時，

令，可得，.

若時， .

當時，，；時，，.所以在上單調遞減；在上單調遞增.

當時，,.

對任意，，恒成立，所以在上單調遞減；

當時，，.

當時，，；時，，.

所以在上單調遞減，在上單調遞增.

綜上，當時，在上單調遞減；在上單調遞增.

當時， 在上單調遞減.

當時，在上單調遞減；在上單調遞增.

（2），.

將

兩式相減，整理得，

即，

所以

令，，

則，

所以在上單調遞減，故

又，所以.