Question

如圖，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，BC=4．
（Ⅰ）求證：平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）在BC邊上是否存在一點M，使得D點到平面PAM的距離為2，若存在，求BM的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證平面PDC⊥平面PAD，只要證明DC⊥平面PAD即可，由PA⊥底面ABCD，底面ABCD為矩形可以得到證明；
（Ⅱ）假設存在，設出BM的長度，利用等積法求出BM，只要BM的長度不超過4說明假設成立，否則假設不成立．

解答：（Ⅰ）證明：如圖，
∵ABCD是矩形，∴CD⊥AB，
又∵PA⊥底面ABCD，且CD?平面ABCD，
∴CD⊥PA．
又∵PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，
又∵CD?平面PDC，
∴平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）解：假設BC邊上存在一點M滿足題設條件，令BM=x，
∵AB=2，BC=4．且PA⊥底面ABCD，PA=2，
則在Rt△ABM中，AM=

AB2+BM2

=

4+x2

，
∵PA⊥底面ABCD，
∴SRt△PAM=

1

2

PA•AM=

4+x2

，
S△AMD=

1

2

AD•AB=4．
又∵V_P-AMD=V_D-PAM，
∴

1

3

×2×4=

1

3

×2×

4+x2

，解得x=2

3

＜4．
故存在點M，當BM=2

3

時，使點D到平面PAM的距離為2．

點評：本題考查了平面與平面垂直的判定，考查了空間距離的求法，訓練了“等積法”求點到面的距離，是中檔題．