Question

如圖，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4，E是PD的中點
（1）求證：平面PDC⊥平面PAD；
（2）求三棱錐P-AEC的體積．

Answer 1

分析：（1）以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸建立空間直角坐標系，分別求出平面PCD的法向量和平面PAD的法向量，利用向量法能夠證明平面PDC⊥平面PAD．
（2）由E（0，2，1），P（0，0，2），C（2，4，0），A（0，0，0），知

AP

=(0，0，2)，

AC

=（2，4，0），

AE

=（0，2，1），求出平面PAC的法向量，利用向量法求出點E到平面PAC的距離d，再求出△PAC的面積，由三棱錐P-AEC的體積V=

1

3

×S△PAC×d，能求出結(jié)果．

解答：（1）證明：以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，
AP所在直線為z軸建立空間直角坐標系，
∵PA=AB=2，BC=4，
∴P（0，0，2），C（2，4，0），D（0，4，0），
∴

PC

=(2，4，-2)，

PD

=(0，4，-2)，
設(shè)平面PCD的法向量

n

=(x，y，z)，則

n

•

PC

=0，

n

•

PD

=0，
∴

2x+4y-2z=0 4y-2z=0

，∴

n

=(0，1，2)，
∵平面PAD的法向量

n1

=(1，0，0)，
∴

n

•

n1

=0，
∴平面PDC⊥平面PAD．
（2）解：∵E（0，2，1），P（0，0，2），C（2，4，0），A（0，0，0），
∴

AP

=(0，0，2)，

AC

=（2，4，0），

AE

=（0，2，1），
設(shè)平面PAC的法向量

n2

=(x2，y2，z2)，則

AP

•

n2

=0，

AC

•

n2

=0，
∴

2z2=0 2x2+4y2=0

，∴

n2

=（2，-1，0），
∴點E到平面PAC的距離d=

| AE • n2 |

| n2 |

=

|-2|

5

=

2 5

5

，
∵S△PAC=

1

2

×2×

4+16

=2

5

，
∴三棱錐P-AEC的體積V=

1

3

×S△PAC×d=

1

3

×2

5

×

2 5

5

=

4

3

．

點評：本題考查平面與平面的垂直，考查棱錐的體積的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．