Question

設(shè)直線

2

ax+by=1（其中a，b為實(shí)數(shù)）與圓x²+y²=1相交于A，B兩點(diǎn)，△AOB是直角三角形（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則點(diǎn)P（a，b）到點(diǎn)M（0，1）的距離的最大值為$（　　）

• A、

  2

  +1
• B、2
• C、2

  2

  +3
• D、

  2

  -1

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：綜合題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)圓的方程找出圓心坐標(biāo)和半徑，由|OA|=|OB|根據(jù)題意可知△AOB是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理求出|AB|的長度，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得圓心到直線的距離等于|AB|的一半，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到直線的距離，兩者相等即可得到a與b的軌跡方程為一個(gè)橢圓，由圖形可知點(diǎn)P（a，b）到焦點(diǎn)（0，1）的距離的最大值．

解答： 解：由圓x²+y²=1，所以圓心（0，0），半徑為1
所以|OA|=|OB|=1，則△AOB是等腰直角三角形，得到|AB|=

2

，
則圓心（0，0）到直線

2

ax+by=1的距離為

1

2a2+b2

=

2

2

，
∴2a²+b²=2，即a²+

b2

2

=1．
因此所求距離為橢圓a²+

b2

2

=1上點(diǎn)P（a，b）到焦點(diǎn)（0，1）的距離，
如圖得到其最大值PF=

2

+1
故選A

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活點(diǎn)到直線的距離公式化簡求值，綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)求動(dòng)點(diǎn)形成的軌跡方程，是一道綜合題．