Question

在△ABC中，三內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若B=60°，c=(

3

-1)a．
（1）求角C的大�。�
（2）已知當x∈R時，函數f（x）=sinx（cosx+asinx）的最大值為1，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由題意A=120°-C，代入sinC=(

3

-1)sinA得sinC=(

3

-1)sin(120°-C)展開求C
（2）利用恒等變換公式對f（x）=sinx（cosx+asinx）化簡得到f（x）=

a

2

+

1+a2

2

sin（2x-θ），再由最大值為1，建立方程求出a

解答：解：（1）由題意若B=60°，c=(

3

-1)a，可變為sinC=(

3

-1)sinA，即sinC=(

3

-1)sin(120°-C)
∴sinC=(

3?

-1)(

3

2

cosC+

1

2

sinC)
整理得

3- 3

2

sinC=

3- 3

2

cosC
可得tanC=1，C=

π

4

（2）f（x）=sinx（cosx+asinx）=

1

2

sin2x+

a

2

（1-cos2x）=

a

2

+

1+a2

2

sin（2x-θ），tanθ=a
∵函數f（x）=sinx（cosx+asinx）的最大值為1
∴

a

2

+

1+a2

2

=1，
∴a+

1+a2

=2，解得a=

3

4

點評：本題考查三角函數的最值，解題的關鍵是把三角函數的解析式轉化為函數y=Asin（ωx+φ）的形式，再由三角函數的性質確定函數的最值，此類題一般有兩種類型，一是求最值，一是由最值求參數，本題是第二類．