Question

【題目】已知函數f（x）=x+ ﹣4，g（x）=kx+3．
（1）當a=k=1時，求函數y=f（x）+g（x）的單調遞增與單調遞減區間；
（2）當a∈[3，4]時，函數f（x）在區間[1，m]上的最大值為f（m），試求實數m的取值范圍；
（3）當a∈[1，2]時，若不等式|f（x1）|﹣|f（x2）|＜g（x1）﹣g（x2）對任意x1 ， x2∈[2，4]（x1＜x2）恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=k=1時，y=f（x）+g（x）=2x+ ﹣1，

y′=2﹣ = ，

令y′＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，令y′＜0，解得：﹣1＜x＜1且x≠0，

故函數在（﹣∞，﹣1）遞增，在（﹣1，0），（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增

（2）解：∵a∈[3，4]，

∴y=f（x）在（1， ）上遞減，在（ ，+∞）上遞增，

又∵f（x）在區間[1，m]上的最大值為f（m），

∴f（m）≥f（1），解得（m﹣1）（m﹣a）≥0，

∴m≥amax，即m≥4

（3）解：∵|f（x1）|﹣|f（x2）|＜g（x1）﹣g（x2），

∴|f（x1）|﹣g（x1）＜|f（x2）|﹣g（x2）恒成立，

令F（x）=|f（x）|﹣g（x），則F（x）在[2，4]上遞增．

對于F（x）= ，

（i）當x∈[2，2+ ]時，F（x）=（﹣1﹣k）x﹣ +1，

①當k=﹣1時，F（x）=﹣ +1在[2，2+ ]上遞增，所以k=﹣1符合；

②當k＜﹣1時，F（x）=（﹣1﹣k）x﹣ +1在[2，2+ ]上遞增，所以k＜﹣1符合；

③當k＞﹣1時，只需 ≥2+ ，即 ≥（ + ）max=2+ ，

所以﹣1＜k≤6﹣4 ，從而k≤6﹣4 ；

（ii）當x∈（2+ ，4]時，F（x）=（1﹣k）x+ ﹣7，

①當k=1時，F（x）= ﹣7在（2+ ，4]上遞減，所以k=1不符合；

②當k＞1時，F（x）=（1﹣k）x+ ﹣7在（2+ ，4]上遞減，所以k＞1不符合；

③當k＜1時，只需 ≤2+ ，即 ≤（ + ）min=1+ ，

所以k＜2 ﹣2，

綜上可知：k≤6﹣4

【解析】（1）將a=k=1代入函數，求出函數y=f（x）+g（x）的導數，從而求出函數的單調區間即可；（2）解不等式f（m）≥f（1）即可；（3）不等式等價于F（x）=|f（x）|﹣g（x）在[2，4]上遞增，顯然F（x）為分段函數，結合單調性對每一段函數分析討論即可．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．