Question

【題目】已知二次函數f（x）=ax2+bx，g（x）=2x﹣1．
（1）當a=1時，若函數f（x）的圖象恒在函數g（x）的圖象上方，試求實數b 的取值范圍；
（2）若y=f（x）對任意的x∈R均有f（x﹣2）=f（﹣x）成立，且f（x）的圖象經過 點A（1， ）．
①求函數y=f（x）的解析式；
②若對任意x＜﹣3，都有2k ＜g（x）成立，試求實數k的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=1時，若函數f（x）的圖象恒在函數g（x）的圖象上方，

則x2+bx＞2x﹣1，即x2+（b﹣2）x+1＞0恒成立，

即△=（b﹣2）2﹣4＜0，

解得：b∈（0，4）

（2）解：①若y=f（x）對任意的x∈R均有f（x﹣2）=f（﹣x）成立，且f（x）的圖象經過點A（1， ）．

則 ，解得： ，

∴y=f（x）= x2+ x，

②若對任意x＜﹣3，都有2k ＜g（x）成立，

則對任意x＜﹣3，都有2k（ x+ ）＜2x﹣1成立，

則對任意x＜﹣3，都有k＞ = ﹣ 成立，

由x＜﹣3時， ﹣ ∈（ ， ），

∴k≥ ，

故實數k的最小值為

【解析】（1）當a=1時，若函數f（x）的圖象恒在函數g（x）的圖象上方，則x2+bx＞2x﹣1，即x2+（b﹣2）x+1＞0恒成立，即△=（b﹣2）2﹣4＜0，解得實數b 的取值范圍；（2）①若y=f（x）對任意的x∈R均有f（x﹣2）=f（﹣x）成立，且f（x）的圖象經過 點A（1， ）．則 ，解得：a，b的值，可得函數y=f（x）的解析式；②若對任意x＜﹣3，都有2k ＜g（x）成立，則對任意x＜﹣3，都有k＞ = ﹣ 成立，進而可得實數k的最小值．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質的相關知識點，需要掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減才能正確解答此題．