Question

【題目】如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)E在線段PC上，PC⊥平面BDE．

（1）證明：BD⊥平面PAC；
（2）若PA=1，AD=2，求二面角B﹣PC﹣A的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵PA⊥平面ABCD

∴PA⊥BD

∵PC⊥平面BDE

∴PC⊥BD，又PA∩PC=P

∴BD⊥平面PAC

（2）解：設(shè)AC與BD交點(diǎn)為O，連OE

∵PC⊥平面BDE

∴PC⊥平面BOE

∴PC⊥BE

∴∠BEO為二面角B﹣PC﹣A的平面角

∵BD⊥平面PAC

∴BD⊥AC

∴四邊形ABCD為正方形，又PA=1，AD=2，可得BD=AC=2 ，PC=3

∴OC=

在△PAC∽△OEC中，

又BD⊥OE，

∴

∴二面角B﹣PC﹣A的平面角的正切值為3

【解析】（1）由題設(shè)條件及圖知，可先由線面垂直的性質(zhì)證出PA⊥BD與PC⊥BD，再由線面垂直的判定定理證明線面垂直即可；（2）由圖可令A(yù)C與BD的交點(diǎn)為O，連接OE，證明出∠BEO為二面角B﹣PC﹣A的平面角，然后在其所在的三角形中解三角形即可求出二面角的正切值．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．