Question

已知橢圓C的兩個焦點分別為，且點在橢圓C上，又.
（1）求焦點F₂的軌跡的方程；
（2）若直線與曲線交于M、N兩點，以MN為直徑的圓經過原點，求實數b的取值范圍.

Answer 1

（1）（2）

解析試題分析：（1）因為點在橢圓上，由橢圓定義知
 恰好符合雙曲線的定義.動點 在以、 為焦點的雙曲線上；
（2）由（1）得曲線的方程 ,設 ,聯立方程組 
消去得方程有兩個正根.由韋達定理可建立與 的關系
另外，由 將由韋達定理得到的關系式代入其中可得關于關系式，再結合即可求得 的取值范圍.
試題解析：（1） 

故軌跡 為以、  為焦點的雙曲線的右支
設其方程為： 
 
故軌跡方程為.                               （6分）
（2）由
方程有兩個正根.

設，由條件知.
而

即
整理得，即
由（1）知，即顯然成立.
由（2）、（3）知
而.

.
故的取值范圍為               （12分）
考點：1、橢圓的定義；2、雙曲線的定義和標準方程；3、直線與圓錐曲線的位置關系綜合問題.