Question

已知命題p：y=

1-a

x

在區間（0，+∞）上是減函數，命題q：不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4≥0的解集為空集，若p或q是真命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

要使y=

1-a

x

在區間（0，+∞）上是減函數，則1-a＞0，即a＜1．所以p：a＜1．
不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4≥0的解集為空集，
所以當a=2時，不等式等價為-4≥0，此時不成立，解集為空集，滿足條件．
當a≠2時，要使不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4≥0的解集為空集，即不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0恒成立，
所以必有

a-2＜0 △=4(a-2)2+4(a-2)＜0

，即

a＜2 (a-2)(a-1)＜0

，所以

a＜2 1＜a＜2

，所以1＜a＜2．
綜上1＜a≤2，即q：1＜a≤2．
若p或q是真命題，則p，q至少有一個是真命題．
當p，q同時為假命題時，有

a≥1 a≤1或a＞2

，解得a=1或a＞2．
所以p，q至少有一個是真命題時有a≠1且a≤2．
所以實數a的取值范圍a≤2且a≠1．