Question

已知命題p：y=

1-a

x

在區間（0，+∞）上是減函數，命題q：不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4≥0的解集為空集，若p或q是真命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：先求出命題p，q為真命題是的等價條件，然后利用p或q為真命題，求實數a的取值范圍．

解答：解：要使y=

1-a

x

在區間（0，+∞）上是減函數，則1-a＞0，即a＜1．所以p：a＜1．
不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4≥0的解集為空集，
所以當a=2時，不等式等價為-4≥0，此時不成立，解集為空集，滿足條件．
當a≠2時，要使不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4≥0的解集為空集，即不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0恒成立，
所以必有

a-2＜0 △=4(a-2)2+16(a-2)＜0

，即

a＜2 (a-2)(a+2)＜0

，
所以

a＜2 -2＜a＜2

，所以-2＜a＜2．
綜上-2＜a≤2，即q：-2＜a≤2．
若p或q是真命題，則p，q至少有一個是真命題．
當p，q同時為假命題時，有

a≥1 a＞2或a≤-2

，
解得a＞2．
所以p，q至少有一個是真命題時，a≤2．
所以實數a的取值范圍a≤2．

點評：本題主要考查復合命題的真假判斷和應用，要求熟練掌握復合命題與簡單命題真假之間的關系．