Question

（12分）設函數，曲線在點處的切線方程為
（I）求
（II）證明：

Answer 1

（I）；（II）詳見解析.

試題分析：（I）由切點在切線上，代入得①．由導數的幾何意義得②，聯立①②求；（II）證明成立，可轉化為求函數的最小值，只要最小值大于1即可．該題不易求函數的最小值，故可考慮將不等式結構變形為，分別求函數和的最值，發現在的最小值為，在的最大值為．且不同時取最值，故成立，即注意該種方法有局限性只是不等式的充分不必要條件，意即當成立，最值之間不一定有上述關系．
試題解析：（I）函數的定義域為．．
由題意可得，．故．
（II）由（I）知，，從而等價于，設函數，則．所以當時，；當時，．故在遞減，在遞增，從而在的最小值為．設，則．所以當時，；當時，．故在遞增，在遞減，從而在的最大值為．綜上，當時，，即．
【考點定位】1、導數的幾何意義；2、利用導數判斷函數的單調性；3、利用導數求函數的最值．