Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數方程為 （α為參數），以直角坐標系原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標軸方程為ρcos（θ﹣ ）=2 ．
（1）求曲線C的普通方程與直線l的直角坐標方程；
（2）設點P為曲線C上的動點，求點P到直線l距離的最大值及其對應的點P的直角坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲線C的參數方程為 （α為參數），曲線C的直角坐標方程： =1，

直線l的極坐標軸方程為ρcos（θ﹣ ）=2 ，展開 ，ρcosθ+ρsinθ=4，

∴直線l的直角坐標方程為x+y=4．

（2）解：設點P的坐標為 ，

得P到直線l的距離d= ，令sinφ= ，cosφ= ．

則d= ，顯然當sin（α+φ）=﹣1時，dmax= ．此時α+φ=2kπ+ ，k∈Z．

∴cosα= =﹣sinφ=﹣ ．sinα=sin =﹣cosφ=﹣ ，即P ．

【解析】（1）利用cos2α+sin2α=1可把曲線C的參數方程 （α為參數）化為直角坐標方程，直線l的極坐標軸方程為ρcos（θ﹣ ）=2 ，展開 ，利用 即可化為直角坐標方程．（2）設點P的坐標為 ，利用點到直線的距離公式可得P到直線l的距離d= ，再利用三角函數的單調性即可得出．