Question

已知兩點F₁(-1,0)及F₂(1,0),點P在以F₁、F₂為焦點的橢圓C上,且|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|構成等差數列.

（1）求橢圓C的方程;
（2）如圖,動直線l:y=kx+m與橢圓C有且僅有一個公共點,點M,N是直線l上的兩點,且F₁M⊥l, F₂N⊥l.求四邊形F₁MNF₂面積S的最大值.

Answer 1

（1）
（2）

試題分析：(1)依題意,設橢圓的方程為.
構成等差數列,
, .
又,.
橢圓的方程為   
(2) 將直線的方程代入橢圓的方程中,
得 
由直線與橢圓僅有一個公共點知,,

化簡得: 
設,, 
(法一)當時,設直線的傾斜角為,
則,
,      , 
,當時,,,.
當時,四邊形是矩形, 
所以四邊形面積的最大值為 
(法二), 
. 
. 
四邊形的面積,                        
                                                   
當且僅當時,,故. 
所以四邊形的面積的最大值為 
點評：主要是考查了橢圓方程，以及直線與橢圓的位置關系的運用，屬于中檔題。