Question

偶函數f（x）的定義域為D={x|x≠0}，且滿足對于任意x，y∈D，有f（xy）=f（x）+f（y），若x＞1時，f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）求證f（x）在區間（0，+∞）上是增函數；
（3）若f（4）=1，求不等式f（3x+1）≤2的解集．

Answer 1

解：（1）令x=y=1代入f（xy）=f（x）+f（y），得f（1）=0；
（2）令y=，代入f（xy）=f（x）+f（y），得f（x）+f（）=0，即f（）=-f（x）；
∵x＞1時，f（x）＞0，令0＜x₁＜x₂，＞1，
∴f（）=f（x₂•）=f（x₂）+f（）=f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁）．
∴f（x）在區間（0，+∞）上是增函數；
（3）∵偶函數f（x）在區間（0，+∞）上是增函數，f（4）=1，
∵f（3x+1）≤2=f（4）+f（4）=f（16），
∴|3x+1|≤16（x≠0），
∴-≤x＜0或0＜x≤5．
∴所求不等式的解集為：{x|-≤x＜0或0＜x≤5}．
分析：（1）令x=y=1代入f（xy）=f（x）+f（y），即可求得f（1）的值；
（2）可令y=，代入f（xy）=f（x）+f（y），得到f（x）+f（）=0．再利用函數單調性的定義判斷即可；
（3）利用偶函數f（x）在區間（0，+∞）上是增函數，f（4）=1，將不等式f（3x+1）≤2轉化為|3x+1|≤16（x≠0），解之即可．
點評：本題考查抽象函數及其用，著重考查函數的單調性，奇偶性及解絕對值不等式，突出考出化歸思想與綜合分析與應用的能力，屬于難題．