Question

已知函數f（x）=x²-ax，g（x）=lnx  
（1）當a=0時求函數h（x）=

f(x)

g(x)

的單調區間．  
（2）設F（x）=f（x）+g（

1+ax

2

）對于任意的a∈（1，2），總存在x₀∈[

1

2

，1]，使不等式F（x₀）＞k（1-a²）成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數的單調性及單調區間,函數的最值及其幾何意義

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）求出a=0的h（x）解析式，求出定義域，求出導數，令導數大于0，得增區間，令導數小于0，得減區間；
（2）a∈（1，2）時，求出F（x）的導數，判斷函數在（

1

2

，+∞）時，F（x）是增函數，于是問題等價于：對任意的a∈（1，2），不等式ln

1+a

2

+1-a+k（a²-1）＞0恒成立，再利用導函數研究不等式左邊的最小值看是否符合要求，即可求實數m的取值范圍．

解答： 解：（1）當a=0時，h（x）=

x2

lnx

（x＞0且x≠1），導數h′（x）=

2xlnx-x

(lnx)2

，
當x＞

e

時，h′（x）＞0，h（x）遞增；當0＜x＜1，1＜x＜

e

時，h′（x）＜0，h（x）遞減．
則有h（x）的增區間為（

e

，+∞），減區間為（0，1），（1，

e

）；
（2）F（x）=f（x）+g（

1+ax

2

）=x²-ax+ln

1+ax

2

，
∴F′（x）=

2ax(x- a2-2 2a )

ax+1

，
∵a∈（1，2），∴

a2-2

2a

＜

1

2

，
∴x∈（

1

2

，+∞）時，F（x）是增函數，
∴x∈[

1

2

，1]，F（x）_max=F（1）=1-a+ln

1+a

2

，a∈（1，2），
∵對任意的a∈（1，2），總存在x∈[

1

2

，1]，使不等式F（x）＞k（1-a²）成立，
∴對任意的a∈（1，2），不等式1-a+ln

1+a

2

＞k（1-a²）成立．
于是問題等價于：對任意的a∈（1，2），不等式ln

1+a

2

+1-a+k（a²-1）＞0恒成立．
記g（a）=ln

1+a

2

+1-a+k（a²-1），（1＜a＜2）
則g′（a）=

a

1+a

（2ka-1+2k），
當k=0時，g′（a）=

-a

1+a

＜0，∴g（a）在區間（1，2）上遞減，此時，g（a）＜g（1）=0，
由于a²-1＞0，∴k≤0時不可能使g（a）＞0恒成立，
故必有k＞0，∴g′（a）=

a

1+a

（2ka-1+2k）．
若

1

2k

-1＞1，可知g（a）在區間（1，min{2，

1

2k

-1}）上遞減，
在此區間上，有g（a）＜g（1）=0，與g（a）＞0恒成立矛盾，故

1

2k

-1≤1，
這時，g'（a）＞0，g（a）在（1，2）上遞增，恒有g（a）＞g（1）=0，滿足題設要求，
∴

k＞0 1 2k -1≤1

，即k≥

1

4

，
∴實數k的取值范圍為[

1

4

，+∞）．

點評：本題考查利用導數研究函數單調性，考查函數恒成立問題，考查函數與方程思想、分類討論思想，綜合性強，難度大．