Question

【題目】已知橢圓的離心率為，其左、右焦點分別為，左、右頂點分別為，上、下頂點分別為，四邊形與四邊形的面積之和為4.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線與橢圓交于兩點，（其中為坐標原點）,求直線被以線段為直徑的圓截得的弦長.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：

(1)由題意求得a,b的值可得橢圓的方程為.

(2)聯(lián)立直線與橢圓的方程，結合題意和圓的弦長公式可得直線被以線段為直徑的圓截得的弦長為.

試題解析：

（1）四邊形的面積為：，

由橢圓的離心率為可得，結合可得，

，則，橢圓的方程為.

（2）由可得，

設點，則，

即,，

則，

由可得，即，

，即，

整理可得，即 ①

把①代入可得，該不等式恒成立.

以為直徑的圓的圓心為，半徑為.

圓心到直線的距離為，

則直線被圓截得的弦長為：.