【題目】已知圓
，橢圓
（
）的短軸長等于圓
半徑的
倍，
的離心率為
．
（1）求的方程；
（2）若直線
與交于
兩點，且與圓相切，證明：
為直角三角形．
【答案】（1）
； （2）證明見解析.
【解析】
(1)根據橢圓的幾何性質即可求出
的方程；
(2)法一，分直線斜率不存在和存在兩種情況，求出點坐標利用向量數量積即可證明，法二，分和
軸平行和不平行兩種情況，后和法一一樣.
（1）因為圓
的半徑為
，
所以
的短軸長為
，
所以
，解得
．
因為的離心率為
，所以
①，
又因為
，所以
②，
聯立①② ，解得
，
所以所求的方程為
（2）證明：證法一：①當直線
斜率不存在時, 直線的方程為
．
當
時，
所以
當
時，
所以
，
綜上，
所以
為直角三角形．
②當直線斜率存在時，設其方程為
直線與圓相切，
即
，
由
得，
，
所以
所以
所以
綜上所述: 所以為直角三角形．
證法二：①當直線方程為
時,
所以所以為直角三角形．
②當直線方程為
時，
所以所以為直角三角形．
③當直線不與軸平行時，設其方程為
因為直線與圓相切，所以
,即
由
得,
所以
所以
所以為直角三角形．
綜上所述: 為直角三角形．
芝麻開花課程新體驗系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】新中國成立70周年，社會各界以多種形式的慶�；顒幼８Ｗ鎳渲�，“快閃”因其獨特新穎的傳播方式吸引大眾眼球.根據騰訊指數大數據，關注“快閃”系列活動的網民群體年齡比例構成，及男女比例構成如圖所示，則下面相關結論中不正確的是（ ）
A.35歲以下網民群體超過70%
B.男性網民人數多于女性網民人數
C.該網民群體年齡的中位數在15～25之間
D.25～35歲網民中的女性人數一定比35～45歲網民中的男性人數多
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
為雙曲線
的左、右焦點，過
作垂直于
軸的直線，在軸的上方交雙曲線C于點M，且
(1)求雙曲線C的方程；
(2)過雙曲線C上任意一點P作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為
求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，其中
.
（1）若
是定義在
上的單調函數，求實數a的取值范圍；
（2）當
時，判斷與
的圖象在其公共點處是否存在公切線？若存在，求滿足條件的a值的個數；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，游客從某旅游景區的景點
處下上至
處有兩種路徑．一種是從沿直線步行到，另一種是先從沿索道乘纜車到
，然后從沿直線步行到．現有甲、乙兩位游客從處下山，甲沿
勻速步行，速度為
．在甲出發
后，乙從乘纜車到，在處停留
后，再從勻速步行到，假設纜車勻速直線運動的速度為
，山路長為1260
，經測量
，
．
（1）求索道
的長；
（2）問：乙出發多少
后，乙在纜車上與甲的距離最短？
（3）為使兩位游客在處互相等待的時間不超過
，乙步行的速度應控制在什么范圍內？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列命題
①命題“若
，則
”的逆命題是真命題；
②若
，
，則
在
上的投影是
；
③在
的二項展開式中，有理項共有4項；
④已知一組正數
，
，
，
的方差為
，則數據
，
，
，
的平均數為4；
⑤復數
的共軛復數是
，則
.
其中真命題的個數為（ ）
A.0B.1C.2D.3
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數
；
（1）當
時，解不等式
；
（2）若
，且
在閉區間
上有實數解，求實數
的范圍；
（3）如果函數
的圖象過點
，且不等式
對任意
均成立，求實數
的取值集合．
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