Question

【題目】已知函數， ．

（Ⅰ）求函數的極值；

（Ⅱ）當時，若存在實數使得不等式恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I）見解析;（II）.

【解析】試題分析：（1）對函數求導，對分情況討論，從單調性得出是否有極值，且求出極值；（2）當時，由（1）知有極小值 ，只有當時才符合題意，所以，求出函數 在處的切線方程 ，證明 ，得出。

試題解析：（1）由題意得， ，∴，

①當時，則，此時無極值；

②當時，令，則；令，則；

∴在上遞減，在上遞增；

∴有極小值，無極大值；

（2）當時，由（1）知， 在上遞減，在上遞增，且有極小值.

①當時， ，∴，

此時，不存在實數， ，使得不等式恒成立；

②當時， ，

在處的切線方程為，

令， ，

則， ，

令 ， ，

則，令，則；令，則；

∴ ，∴，

∴，

當， 時，不等式恒成立，

∴符合題意. 由①，②得實數的取值范圍為.