Question

【題目】已知各項為正的等比數列{an}的前n項和為Sn ， S4=30，過點P（n，log2an）和Q（n+2，log2an+1）（n∈N*）的直線的一個方向向量為（﹣1，﹣1）
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設bn= ，數列{bn}的前n項和為Tn ， 證明：對于任意n∈N* ， 都有Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵各項為正的等比數列{an}的前n項和為Sn，S4=30，

過點P（n，log2an）和Q（n+2，log2an+1）（n∈N*）的直線的一個方向向量為（﹣1，﹣1），

∴ ，

解得 ，q=4，

∴an= ．

（2）解：∵bn= = = （ ﹣ ），

∴數列{bn}的前n項和：

Tn= （ + + +…+ + ）

= （ ﹣ ）

= （ + ﹣ ﹣ ）

＜ ．

∴對于任意n∈N*，都有Tn

【解析】（1）利用等比數列前n項和公式及直線的方向向量性質列出方程組，由此能求出首項和公比，從而能求出數列{an}的通項公式．（2）由bn= = （ ﹣ ），利用裂項法能證明對于任意n∈N* ， 都有Tn ．
【考點精析】利用數列的前n項和和數列的通項公式對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．