Question

【題目】設函數f（x）=|x﹣ |+|x+m|（m＞0）
（1）證明：f（x）≥4；
（2）若f（2）＞5，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：由m＞0，有f（x）=|x﹣ |+|x+m|≥|﹣（x﹣ ）+x+m|= +m≥4，

當且僅當 =m，即m=2時取“=”，所以f（x）≥4成立．

（2）

解：f（2）=|2﹣ |+|2+m|．

當 ＜2，即m＞2時，f（2）=m﹣ +4，由f（2）＞5，求得m＞ ．

當 ≥2，即0＜m≤2時，f（2）= +m，由f（2）＞5，求得0＜m＜1．

綜上，m的取值范圍是（0，1）∪（ ，+∞）

【解析】（1）由m＞0，由f（x）的解析式利用絕對值三角不等式證得結論．（2）分當 ＜2時和當 ≥2時兩種情況，分別根據f（2）＞5，求得m的范圍，再把所得m的范圍取并集，即得所求．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解絕對值不等式的解法的相關知識，掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．