Question

【題目】已知，是的中點．

（1）若，求向量與向量的夾角的余弦值；

（2）若是線段上任意一點，且，求的最小值；

（3）若點是內一點，且，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）6

【解析】

（1）根據向量數量積等于，可得，以為原點，為軸，為軸建立平面直角坐標系，根據向量加法、減法以及數量積的坐標表示即可求向量的夾角.

（2）以為原點，為軸，為軸建立平面直角坐標系，設，利用向量數量積的坐標表示即可求解.

（3）設，可得，利用向量的數量積可得，，再將平方，根據向量數量積定義以及基本不等式即可求解.

（1）因為，所以，

以為原點，為軸，為軸建立平面直角坐標系．

令，則，

所以，

設向量，與向量的夾角為，

，

（2）因為，所以，

以為原點，為軸，為軸建立平面直角坐標系．

因為，則，

設

，

當且僅當時，的最小值是．

（3）設，

，

同理：，

當且僅當時，所以．