Question

已知平面向量

a

=（

3

，2cosx），

b

=（sin2x，cosx），f（x）=

a

•

b

，x∈[0，

π

2

]．
（1）求f（x）的最小值；
（2）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,平面向量數(shù)量積的運算

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應用

分析：（1）利用兩個向量的數(shù)量積公式，兩角和的正弦公式，化簡f（x） 的 解析式為2sin（2x+

π

6

）+1，由x∈[0，

π

2

]，求出f（x）的最小值；
（2）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，可解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z．

解答： 解：（1）∵平面向量

a

=（

3

，2cosx），

b

=（sin2x，cosx），f（x）=

a

•

b

，
∴f（x）=

a

•

b

=

3

sin2x+2cos²x=2sin（2x+

π

6

）+1，
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴f（x）_min=2×（-

1

2

）+1=0．
（2）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，可解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z
故求f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．

點評：本題主要考察了平面向量數(shù)量積的運算，三角函數(shù)中的恒等變換應用，屬于基本知識的考查．