Question

設定義域為R的函數f（x）=

2-|x-1|+1，x≠1 a，x≠1

，若關于x的方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有五個不同的實數解，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數的零點與方程根的關系

專題：函數的性質及應用

分析：作出f（x）的圖象，利用換元法結合一元二次函數的圖象和性質即可．

解答： 解：作出f（x）的圖象如圖：設t=f（x），
則方程等價為2t²-（2a+3）t+3a=0，
由圖象可知，
若關于x的方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有五個不同的實數解，
∴即要求對應于f（x）等于某個常數有3個不同實數解，
∴故先根據題意作出f（x）的簡圖：
由圖可知，只有當f（x）=a時，它有三個根．
所以有：1＜a＜2 ①．
再根據2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有兩個不等實根，
則判別式△=（2a+3）²-4×2×3a＞0，
解得a≠

3

2

，
故1＜a＜

3

2

或

3

2

＜x＜2，
故答案為：1＜a＜

3

2

或

3

2

＜x＜2

點評：本題主要考查函數和方程的應用，利用換元法結合一元二次函數的圖象和性質，利用數形結合是解決本題的關鍵．