Question

【題目】已知函數， .

（1）若曲線在處的切線方程為，求實數的值；

（2）設，若對任意兩個不等的正數，都有恒成立，求實數的取值范圍；

（3）若在上存在一點，使得成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】試題分析：（1）求出函數y的導數，可得切線的斜率，由切線方程可得a的方程，解得a即可；

（2）由題意可得即為，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）遞增，求出導數，令導數大于等于0，分離參數a，由二次函數的最值，即可得到a的范圍；

（3）原不等式等價于，整理得，設，求得它的導數m'（x），然后分a≤0、0＜a≤e﹣1和a＞e﹣1三種情況加以討論，分別解關于a的不等式得到a的取值，最后綜上所述可得實數a的取值范圍．

試題解析：

（1）由，得.

由題意， ，所以.

（2）.

因為對任意兩個不等的正數，都有恒成立，設，

則即恒成立.

問題等價于函數，即在上為增函數，

所以在上恒成立.即在上恒成立.

所以，即實數的取值范圍是.

（3）不等式等價于，整理得.

設，

由題意知，在上存在一點，使得.

.

因為，所以，令，得.

①當，即時， 在上單調遞增.

只需，解得.

②當即時， 在處取最小值.

令即，可得.

令，即，不等式可化為.

因為，所以不等式左端大于1，右端小于等于1，所以不等式不能成立.

③當，即時， 在上單調遞減，只需，解得.

綜上所述，實數的取值范圍是.