Question

已知f（x）=-

1

3

x³+

1

2

ax²+2x在區間[-1，1]上是增函數．
（1）求實數a的范圍A；
（2）設關于x的方程f（x）=

5

3

x有兩個非零實根x₁、x₂，試問：是否存在實數m，使得不等式m²+tm+

1

2

≥|x₁-x₂|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,導數的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：（1）求出函數的導數，由題意可得，f′（x）≥0在[-1，1]恒成立，即x²-ax-2≤0在[-1，1]恒成立，則1-a-2≤0且1+a-2≤0，解得即可；
（2）假設存在實數m，運用韋達定理，求得|x₁-x₂|在[-1，1]上的最大值，再由m²+tm+

1

2

不小于最大值，在-1≤t≤1恒成立，構造一次函數，運用單調性得到不等式，即可得到m的范圍．

解答： 解：（1）f（x）=-

1

3

x³+

1

2

ax²+2x的導數f′（x）=-x²+ax+2，
由f（x）在區間[-1，1]上是增函數，則f′（x）≥0在[-1，1]恒成立，
即x²-ax-2≤0在[-1，1]恒成立，則1-a-2≤0且1+a-2≤0，
解得，-1≤a≤1，
則A=[-1，1]；
（2）假設存在實數m，使得不等式m²+tm+

1

2

≥|x₁-x₂|
對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立．
關于x的方程f（x）=

5

3

x有兩個非零實根x₁、x₂，
即有兩個非零實根x₁、x₂是方程2x²-3ax-2=0的根，
即有△=9a²+16＞0，x₁+x₂=

3a

2

，x₁x₂=-1，
|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

9a2 4 +4

，
由于a∈[-1，1]，則|x₁-x₂|取得最大值

5

2

．
即有m²+tm+

1

2

≥

5

2

對任意的t∈[-1，1]恒成立，
構造g（t）=m²+tm-2，則有g（-1）≥0，且g（1）≥0，
即有m²-m-2≥0且m²+m-2≥0，
即m≥2或m≤-1且-2≤m≤1，
解得，-2≤m≤-1．
則存在實數m∈[-2，-1]，使得不等式m²+tm+

1

2

≥|x₁-x₂|
對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立．

點評：本題考查導數的運用：求單調區間，考查二次方程的韋達定理，考查不等式的恒成立問題，注意轉化為求函數最值問題，屬于中檔題和易錯題．