Question

已知函數f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x），（a＞0且a≠1）
（Ⅰ）求實f（x）的定義域；
（Ⅱ）判斷f（x）的奇偶性并予以證明；
（Ⅲ）當a＞0時，求使f（x）＞0的x的取值范圍．

Answer 1

考點：指、對數不等式的解法,函數的定義域及其求法,函數奇偶性的判斷

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）直接由對數式的真數大于0聯立不等式組求得函數f（x）的定義域；
（Ⅱ）直接利用奇函數的定義判斷f（x）為奇函數；
（Ⅲ）由f（x）＞0，得log_a（x+1）-log_a（1-x）＞0，即log_a（x+1）＞log_a（1-x），然后對a＞1和0＜a＜1分類求解f（x）＞0的解集．

解答： 解：（Ⅰ）由

x+1＞0 1-x＞0

，解得-1＜x＜1．
∴函數f（x）的定義域為（-1，1）；
（Ⅱ）f（x）為奇函數．
事實上，f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x）=loga

1+x

1-x

．
定義域為（-1，1），
f(-x)=loga

1-x

1+x

=loga(

1+x

1-x

)-1=-loga

1+x

1-x

=-f（x）．
∴函數為定義域上的奇函數；
（Ⅲ）由f（x）＞0，得log_a（x+1）-log_a（1-x）＞0，
即log_a（x+1）＞log_a（1-x）①．
當a＞1時，①等價于

-1＜x＜1 x+1＞1-x

，解得：0＜x＜1；
當0＜a＜1時，①等價于

-1＜x＜1 x+1＜1-x

，解得：-1＜x＜0．
∴當a＞1時，不等式f（x）＞0的解集為：{x|0＜x＜1}；
當0＜a＜1時，不等式f（x）＞0的解集為：{x|-1＜x＜0}．

點評：本題考查了函數的定義域及其求法，考查了函數奇偶性的判定方法，訓練了利用函數的單調性求解對數不等式，是基礎題．