Question

【題目】已知整數n≥4，集合M={1，2，3，…，n}的所有含有4個元素的子集記為A1 ， A2 ， A3 ， …， ．
設A1 ， A2 ， A3 ， …， 中所有元素之和為Sn ．
（1）求S4 ， S5 ， S6并求出Sn；
（2）證明：S4+S5+…+Sn=10Cn+26 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：當n=4時，集合M只有1個符合條件的子集，S4=1+2+3+4=10，

當n=5時，集合M每個元素出現了 次，S5= =40，

當n=6時，集合M每個元素出現了 次，S6= =140，

所以，當集合M有n個元素時，每個元素出現了 ，故Sn=

（2）證明：由（1）可得Sn= ．

∵Sn= = ，

則S4+S5+…+Sn=10（ ）= ．

得證

【解析】（1）根據新定義，直接計算n=4，5，6集合M的子集．歸納法得出Sn ． （2）利用組合的公式展開各項計算即可得證．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用子集與真子集和組合與組合數的公式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握任何一個集合是它本身的子集；n個元素的子集有2n個,n個元素的真子集有2n －1個,n個元素的非空真子集有2n－2個；從n個不同的元素中任取m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．