Question

【題目】已知橢圓C：1左右焦點為F1，F2直線（1）xy0與該橢圓有一個公共點在y軸上，另一個公共點的坐標為（m，1）．

（1）求橢圓C的方程；

（2）設P為橢圓C上任一點，過焦點F1，F2的弦分別為PM，PN，設λ1λ2，求λ1+λ2的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）10

【解析】

(1)由直線過點,可得,又點,在橢圓上,可求得,的值,從而得出橢圓方程;

(2)設出,,,,,,由在橢圓上,則有x02+3y02=6,又根據,,可求出的坐標,再把,代入,進而可求的值.

(1)∵直線(1)xy0與y軸交點為(0,),

∴,

又∵直線(1)xy0與橢圓有公共點(m,1).

∴點(,1)在橢圓上,

∴,

∴a2=6,

∴橢圓C的方程為:;

(2)設P(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),

則有x02+3y02=6,

根據λ1λ2,

可得M(2,),N(2,),

把M,N代入x02+3y02=6,

可得,

∴λ1+λ2=10.